Què és el nombre auri?

Autors: Alumnes de 1r de PIM de Matemàtiques de l’Institut Bages Sud (Nerea Martos, Marc Sabaté, Melanie García, Laia Pérez)

El nombre auri també anomenat nombre d’or és un nombre irracional.

Els nombres irracionals són precisament aquells l’expansió decimal dels quals no s’atura mai, i tampoc no entra mai en un cicle periòdic.

És representat per la lletra grega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en majúscula), en honor a Fídies, escultor i arquitecte grec del Partenó.

Les formes definides amb la raó àuria han estat molt sovint considerades estèticament agradables en la cultura d’occident, de manera que la proporció divina s’ha usat sovint al llarg de la Història en l’art i el disseny.

La seva fórmula és la següent:

:

La raó àuria en les arts

El Vitruvi, de Leonardo da Vinci.

En 1509, Luca Pacioli publicà Divina Proportione, on tractava no només amb les curiositats matemàtiques del nombre d’or, sinó també amb el seu ús en l’arquitectura. Això va propiciar l’acceptació de la idea que molts artistes del Renaixement, introduïen la raó àuria en els seus dissenys. Un bon exemple d’aquests mites és en les pintures de Leonardo Da Vinci, on, de la mateixa manera que en el Partenó, hom pot trobar-hi relacions àuries tot i que no hi ha proves fefaents que confirmin que fossin introduïdes expressament pel mateix autor.

Ja en el segle XX, l’arquitecte suís Le Corbusier va publicar Le Modulor, on tractava, entre d’altres amb la raó àuria en l’arquitectura i sobretot en l’urbanisme.

La raó àuria ha estat usada en construccions més recents com en escales, edificis i d’altres, com per exemple en la mida estàndard de carnets i targetes de crèdit que s’aproximen a rectangles d’or. Potser l’edifici més emblemàtic és la seu de l’ONU a Nova York, un gran prisma amb una de les seves cares en forma de rectangle d’or.

La raó àuria també ha estat usada en música, tant per la durada de les notes (per exemple pel compositor hongarès Béla Bartók i el francès Olivier Messiaen), com per l’organització de les parts d’una peça (per exemple en alguna obra del compositor mexicà Silvestre Revueltas) o fins i tot en la relació entre les freqüències de noves notes fora de les escales cromàtiques (per exemple en For Ann (rising), de James Tenney).

Hi ha gent que creu que la raó àuria té propietats estètiques particulars. D’altres argumenten que qualsevol proporció compresa entre 1,4 i 1,8 en té.

El nombre d’or en la natura

Però la raó àuria també és coneguda perquè la trobem a la natura, i és possiblement el fet que aparegui en els llocs més insospitats, conjuntament amb una sèrie de curioses propietats matemàtiques, el que ha fet que rebés la qualificació (metafòrica) de “proporció divina”.

• En cada rusc d’abelles, la relació entre el nombre de mascles i de femelles.
• En la disposició dels pètals de les flors (Anomenat Llei de Ludwig en botànica)
• En la relació entre els nervis del tall d’una fulla.
• En la disposició de les fulles de moltes plantes, formant una espiral ascendent (les fulles se separen per un angle de 137º 30′ i 28″, angle relacionat amb el nombre d’or), cosa que els permet captar la llum solar sense tapar-se les unes a les altres (es creu que això és a causa del fet que el nombre d’or és el nombre irracional que triga més a convergir i, per tant, l’efecte que crea aquest angle és precisament el d’evitar que mai les fulles se superposin completament).
• En la relació entre els diàmetres contigus de les pipes de girasol.
• En l’espiral dels cargols “nautilus”, que són espirals d’or, logarítmiques.
• En les espirals d’una pinya.
• 

Algunes d’aquestes aparicions poden arribar-se a explicar mitjançant les successions recurrents o les propietats geomètriques de la cristal·lització. D’altres però, són aparicions més misterioses.